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2002年高考数学最后一题，数列综合题，标度法难倒大片

在近几年的全国高考数学试卷中，虽然数列仍然是经常考查的知识点，但考试难度较之前下降了很多。 过去，数列通常作为期末题出现，但在如今的全国试卷中，数列的考试更注重对基础知识的考验。 如果出现在解题中，通常第一题和第二题中解题较多。

本文将与大家分享2002年高考数学序列的期末题。 本题考查数列的通式、证明结论的数学归纳法、标度方法等知识。 这道题还是挺难的，尤其是现在的高中生，很少练习序列缩放，所以这道题难倒了很多尖子生。 当然，这道题也能让现在的高中生感受到以往数列测试的难度。

我们先看第一题：求出a2、a3、a4并猜测通式。

先求出a2，将n=1代入题干给出的关系式中，可得a2=3，然后依次求出a3、a4。 接下来，我们观察a1、a2.、a3、a4的值与项数n的关系，可以猜测一个通项公式，即an=n+1。

我们看第二题的第一题：证明an≥n+2。

需要证明的是与正整数n有关的结论，因此可以通过数学归纳法来证明。

首先证明当n=1时，结论成立。 即当n=1时，a1=3≥1+2，所以此时结论成立。

然后假设当n=k（k≥2且k为整数）时，结论成立，并证明当n=k+1时，结论仍然成立。 即假设当n=k时，结论成立，则ak≥k+2，所以a(k+1)=(ak)^2-kak+1=ak(ak-k)+1≥(k +2 -k)(k+2)+1=2k+5≥k+1)+2，所以当得到n=k+1时，结论也成立。

综上，可以证明结论成立。

最后，我们看第二子问题的第二个问题：证明不等式成立。

为了证明这个不等式成立，并且问题干中只有a1与特定值相关，所以我们首先需要用a1来表示an。

由a(n+1)=(an-n)an+1和an≥n+2可知，当k≥2时，ak=[a(k-1)-(k-1)]a( k-1)+1≥(k-1+2-k+1)a(k-1)+1=2a(k-1)+1。 然后，用a(k-2)表示a(k-1)，最后得到ak≥2^(k-1)a1+2^(k-2)+2^(k-3)+...。 +2+1，后一部分利用等比数列求和公式计算，从而得到ak≥2^(k-1)(a1+1)-1，即1+ak≥2^(k-1) (a1+1)，即1/(1+ak)≤1/[2^(k-1)]·1/(a1+1)。 然后代入1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+an)来证明结论。

用缩放方法证明不等式确实很难，因为你必须缩放到恰到好处才能得到想要的结论。 那么，你觉得这个问题很难吗？

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